各位老铁们好，今天的文章主题是介绍一下凯利公式的推导过程，我们还会顺带讲解凯利公式投注比例的知识，希望可以解决您的问题，接下来一起看吧！

本文目录

1. 凯利公式的推导过程
2. 凯利公式具体是怎么推导出来的
3. 凯利公式简单理解

在金融投资领域，凯利公式（Kelly Criterion）是一个非常著名且实用的概念。它可以帮助投资者确定在每次投注或投资时应该投入多少资金，以实现最大化长期收益。凯利公式是如何推导出来的呢？本文将带领大家一步步走进凯利公式的世界，了解其背后的数学原理和实际应用。

一、凯利公式的起源介绍一下凯利公式的推导过程

凯利公式最早由美国数学家约翰·凯利（John L. Kelly）在1956年提出。当时，凯利在贝尔实验室工作，研究如何将资金分配到不同的投资机会中，以实现最大化收益。凯利公式最初是为了解决赌博问题，但后来被广泛应用于金融投资领域。

二、凯利公式的推导过程

凯利公式推导的关键在于“期望值”和“方差”这两个概念。

1. 期望值

期望值是指每次投注或投资可能获得收益的平均值。假设每次投注或投资的收益为随机变量 ""(X"")，则期望值 ""(E(X)"") 可以表示为：

""[ E(X) = ""sum_{i=1}^{n} x_i ""cdot P(x_i) ""]

其中，""(x_i"") 表示第 ""(i"") 次投注或投资的收益，""(P(x_i)"") 表示第 ""(i"") 次投注或投资获得收益的概率。

2. 方差

方差是指每次投注或投资收益的波动程度。假设每次投注或投资的收益为随机变量 ""(X"")，则方差 ""(Var(X)"") 可以表示为：

""[ Var(X) = ""sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 ""cdot P(x_i) ""]

3. 凯利公式

根据期望值和方差，我们可以推导出凯利公式：

""[ f^* = ""frac{b ""cdot p - 1}{b - 1} ""]

其中，""(f^*"") 表示最佳投注比例，""(b"") 表示投注赔率，""(p"") 表示获胜的概率。

三、凯利公式的实际应用

凯利公式在金融投资领域有着广泛的应用。以下是一些常见的应用场景：

1. 股票投资

在股票投资中，我们可以使用凯利公式来确定每次买入股票的资金比例。例如，假设某股票的投注赔率为2，获胜概率为60%，则最佳投注比例为：

""[ f^* = ""frac{2 ""cdot 0.6 - 1}{2 - 1} = 0.6 ""]

这意味着我们应该将60%的资金用于购买该股票。

2. 期货交易

在期货交易中，凯利公式可以帮助投资者确定每次开仓的资金比例。例如，假设某期货合约的投注赔率为3，获胜概率为70%，则最佳投注比例为：

""[ f^* = ""frac{3 ""cdot 0.7 - 1}{3 - 1} = 0.35 ""]

这意味着我们应该将35%的资金用于购买该期货合约。

3. 外汇交易

在外汇交易中，凯利公式可以帮助投资者确定每次交易的资金比例。例如，假设某外汇对子的投注赔率为5，获胜概率为55%，则最佳投注比例为：

""[ f^* = ""frac{5 ""cdot 0.55 - 1}{5 - 1} = 0.2 ""]

这意味着我们应该将20%的资金用于购买该外汇对子。

四、总结

凯利公式是一种非常实用的投资工具，可以帮助投资者确定最佳投注比例，以实现最大化长期收益。通过了解凯利公式的推导过程和实际应用，投资者可以更好地把握投资机会，降低风险。

凯利公式是一种非常有价值的投资工具，投资者应该掌握并灵活运用。在实际操作中，还需要结合市场情况和个人风险承受能力进行判断。希望本文能帮助大家更好地理解凯利公式，为投资之路保驾护航。

凯利公式的推导过程

探讨凯利公式的推导过程，我们首先设定资本金为1，成功概率为p，收益为+W；失败概率为q，收益为-L。目的是求解最优投入比例x，以在累积n次后使总资产收益最大化。

构建期望收益率函数为f(x)=(1+W*x)^p*(1-L*x)^q。接着，通过求解目标函数的极值，令f’(x)=0。经过一系列计算，我们得到最优投入比例x=(p*W-q*L)/(W*L)，若将赔率b定义为W/L，则x=(p-q/b)/L。

特别地，当L=1时，即“一次投资的最大亏损是被清零”，x=p-q/b即为凯利公式。

举例说明，若投资项目有70%概率翻倍，30%概率清零，W=1,L=1,b=1;p=0.7,q=0.3。最优策略投入比例是x=0.7-0.3/1=0.4，若有100万元资本金，应投入40万元以达到最优。此时期望收益率为f(x)=(1+1*0.4)^0.7*(1-1*0.4)^0.3=1.086。

实际上，凯利公式的期望收益率往往低于直观预期，即使表面上有高成功率和高收益率。一般而言，考虑综合风险后，投资实体项目期望收益率在+8.6%左右，与金融股票市场年均+8%的收益率相当。

目标函数f(x)的推导基于末态资产和递推关系。通过合并胜利与失败的局数，得到an=a0*(1+W*x)^S*(1-L*x)^F。进一步定义平均每次收益率为r，期望收益率函数f(x)=(1+r)^(1/n)，从而得出f(x)=(1+W*x)^p*(1-L*x)^q。

对于横向投资的最优策略，当10个项目拥有相同的胜率与赔率时，显然每个项目都是平等的盈利机会。因此，最佳策略是平均分配资本，即每个项目投入相同资金。在本例中，100万元投资到10个项目上，每个项目10万元，总资本期望值为140万元，这低于纵向策略的总收益。

通过比较横向与纵向事例的收益，我们可以看出两者之间存在不对称性。横向策略在每个项介绍一下凯利公式的推导过程目上的分配是等权的，而纵向策略则集中在少数高收益项目上。这说明在不同投资策略下，收益表现可能会有很大差异。

凯利公式具体是怎么推导出来的

凯利公式的推导，从基本概率论出发。设想一个简单的硬币抛掷游戏，硬币正面和反面出现概率均为0.5。若每次投入相同金额，且资金链不中断，投掷次数增加后，期望总资产稳定于初始值。

用数学语言描述，设初始资产为a，每次投掷后资产变为f(a)，赌赢概率为p，赌输概率为1-p。对于所有n次投掷，资产变化可表达为：f(a)= a* p^n*(1-p)^(n-1)。进一步，总资产为资产乘以下注比例n次方，最终得到资产总公式。

当赌赢概率p>0.5时，最大化资产期望需要最大化每次下注比例。因此，每次下注应将所有资产押注，使资产随投掷次数几何级数增长。反之，若p<0.5，为最大化资产，每次应不押注，确保总资产不变。

在实际投资时，通常采用固定比例投注策略。设比例为b，每次投注后资产变化为原资产乘以(1+b)或(1-b)。n次投注后，资产变为原资产乘以(1+b)^n或(1-b)^n。当p>0.5时，最大化期望资产需在每次投注时将所有资金投注。若p<0.5，期望资产最大时，不进行投注。

通过导数研究，发现期望资产最大化的投注比例为b=(p-1)/ln(1/(1-p))。若p1/2，最佳投注比例为b=(p-1)/ln(1/(1-p))，此时资产期望增长。存在临界点，使得资产期望达到最大。

在实际投资中，需考虑赔率。赢钱率表示赢得资产的倍数，输钱率表示损失的资产比例。投注比例应考虑赔率调整，使期望资产最大化。

此外，投资还存在损失率。当同时考虑赢钱率和损失率时，凯利公式形式发生变化，需调整投注比例以最大化期介绍一下凯利公式的推导过程望资产。

本文概述了凯利公式的推导过程，涉及概率论基础、固定比例投注、考虑赔率与损失率的情况。希望有兴趣的读者深入研究，以更全面理解凯利公式的应用。

凯利公式简单理解

凯利公式是：f*=(bp- q)/ b，f*=投注金额占总资金的比例，p=获胜的概率，q=失败的概率，q= 1-p，b=赔率。

摘要：凯利公式是f*=(bp- q)/ b，f*=投注金额占总资金的比例，p=获胜的概率，q=失败的概率，q= 1-p，b=赔率。f*=(bp- q)/ b

其中，f*=投注金额占总资金的比例

p=获胜的概率

q=失败的概率，q= 1-p

b=赔率，例如在轮盘赌中押单个数字，b= 35，押红黑，b= 1。

比如21点下注问题，假设总赌本10,000美元，玩家取胜的概率是51%，赔率1：1（实际胜率和赔率略有偏差，但相距不大），那么凯利公式给出的最佳赌注是：

$10000*(1* 0.51- 0.49)/ 1=$200

首先，公式中分子的bp- q代表“赢面”，数学中叫“期望值”(expectation)，凯利公式指出：正期望值的游戏才可以下注，这是一切赌戏和投资最基本的道理，也就是前面讲的“没有把握，决不下注”。

其次，赢面还要除以“b”才是投注资金比例。也就是说赢面相同的情况下，赔率越小越可以多押注。这一点不容易直观理解，我们用个例子来说明。下面三个正期望值的游戏例子：

1.“小博大”：胜率20%，赢了1赔5，输了全光。bp- q=5*20%- 80%= 20%

2.“中博中”：胜率60%，1赔1。bp- q= 1*60%-40%= 20%

3.“大博小”：胜率80%，1赔0.5。bp- q= 0.5*80%- 20%= 20%

感谢您的阅读，关于介绍一下凯利公式的推导过程和凯利公式投注比例的内容到此结束！